Тайны натурального ряда чисел/Треугольник Серпинского

Материал из Vladimir

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 21: Строка 21:
     <figure>
     <figure>
         <img src="https://static.wixstatic.com/media/6b8346_979deb1dca0f439d80cd95c132091fb5~mv2.jpg/v1/fill/w_190,h_263,al_c,q_80,usm_0.66_1.00_0.01/SERPINSKII.webp"  border="0" width="230"  />
         <img src="https://static.wixstatic.com/media/6b8346_979deb1dca0f439d80cd95c132091fb5~mv2.jpg/v1/fill/w_190,h_263,al_c,q_80,usm_0.66_1.00_0.01/SERPINSKII.webp"  border="0" width="230"  />
-
  <figcaption><font size=0>Вацлав Серпинский (1882–1962), <p>польский математик</p></font></figcaption>
+
  <figcaption><font size=0>Вацлав Серпинский <p>(1882–1962), </p><p>польский математик</p></font></figcaption>
     </figure>
     </figure>
<div style="text-align: justify;"> <span  style="font-style: italic;">«Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоится с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косного представления о математике»</font></span><p  align="right">Норберт Винер (1894 - 1964), американский математик, один из основоположников кибернетики и теории искусственного интеллекта</span></div></p>
<div style="text-align: justify;"> <span  style="font-style: italic;">«Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоится с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косного представления о математике»</font></span><p  align="right">Норберт Винер (1894 - 1964), американский математик, один из основоположников кибернетики и теории искусственного интеллекта</span></div></p>
Строка 40: Строка 40:
<h2><font face="Segoe Print" size="4" color="#8B008B"><b>Проектное задание</b></font></h2>   
<h2><font face="Segoe Print" size="4" color="#8B008B"><b>Проектное задание</b></font></h2>   
<div style="font-size: 14 px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255); font-family: Verdana;">   
<div style="font-size: 14 px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255); font-family: Verdana;">   
-
<ul align="justify">
+
<ol align="justify">
-
<li>Изучите биографию и научную деятельность Блеза Паскаля.</li>
+
<li>Изучите научную деятельность польского математика Вацлава Серпинского:
-
<li>На основе проведенной работы составьте ленту времени с указанием основных дат жизни, вклада учёного в развитие математики, его изобретений.</li>
+
<ul>
-
<li>Исследуйте различные варианты изображения арифметического треугольника, известного как треугольник Паскаля. Укажите имена математиков, в работах которых они встречаются.</li>
+
<li>определите наиболее значимый вклад математика в развитие отдельных направлений математической науки;  </li>
-
<li>Перечислите свойства, которыми обладает треугольник Паскаля. </li>
+
<li>определите, какие математические понятия (термины), связанные с именем Вацлава Серпинского, известны в математике</li>
-
<li>Опубликуйте результаты исследования на своем  сайте (создайте раздел меню "Треугольник Паскаля").</li>
+
<li>приведите примеры реальных объектов, в орнаментах которых можно заметить фрактал "треугольник Серпинского"</li>
-
</ul>
+
</ul></li>
 +
<li> Выполните практическую работу:
 +
<ul>
 +
<li><b>7-8 класс:</b> постройте "вручную" фрактал, получаемый на основе исследования делимости на 4  первых 100 строк элементов треугольника Паскаля </li>
 +
<li><b>9-10 класс: </b>постройте с использованием электронной таблицы (MS Excel и т.п.) фрактал, получаемый на основе исследования делимости на 5 первых первых 450-ти строк элементов треугольника Паскаля</li>
 +
<li>опишите используемую технологию построения </li>
 +
<li>опишите обнаруженные закономерности </li>
 +
</ul></li>
 +
<li>Опубликуйте результаты исследования на своем сайте (создайте раздел меню "Треугольник Серпинского").</li> </ol>
<h2><font face="Segoe Print" size="4" color="#8B008B"><b>Технологии выполнения задания</b></font></h2>
<h2><font face="Segoe Print" size="4" color="#8B008B"><b>Технологии выполнения задания</b></font></h2>
<div style="font-size: 14 px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255); font-family: Verdana;">
<div style="font-size: 14 px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255); font-family: Verdana;">
<ul align="justify">
<ul align="justify">
-
<li><a href="https://padlet.com"><span style="color:#000080">интерактивная онлайн-доска <b>Padlet</b> (шаблон <b>Колонки</b>)</span></a></span></span></li>
+
<li>электронная таблица MS Excel  в составе офисного пакета MS Office (или любой другой аналог) для проведения вычислений</li>  
-
<li><a href="https://wampi.ru/"><span style="color:#000080">размещение графических объектов (фотографий, картинок, gif-анимаций и т.д.) в сети на хостинге </span></a></span></span></li>
+
<li>возможно (для 7-8 классов) использование текстового редактора MS Word  в составе офисного пакета MS Office (или любой другой аналог) для  разлиновки прямоугольной таблицы и заливки соответствующих ячеек </li>
-
<li><a href="https://ru.wix.com"> <span style="color:#000080"><b>он-лайн сервис для создания flash-сайтов</b>:</a> инструкции по редактированию от разработчиков - <a href="https://support.wix.com/ru/"><b>ЗДЕСЬ</b></a>, инструкция от пользователей - <a href="https://youtu.be/cMeCUb8Qfis"><b>ЗДЕСЬ</b></a>. Важно знать: <b>Ваш аккаунт Wix всегда будет бесплатным</b> (не переходите на премиум-план!). Как только вы зарегистрируетесь, вы можете создавать и публиковать столько сайтов, сколько пожелаете. При этом Вы сможете деактивировать аккаунт Wix в любое время; </li>
+
<li><a href="https://wampi.ru/">размещение графических объектов (фотографий, картинок, gif-анимаций и т.д.) в сети на хостинге </a></li>
-
<li><a href="https://document.online-convert.com/ru"> универсальный он-лайн конвертер файлов</span></a>: для конвертирования исходных текстовых документов в форматы pdf-документов, ppt- и pptx-презентаций. И не только!</span></span></li>
+
<li><a href="https://ru.wix.com/">он-лайн сервис для создания flash-сайтов.</a> Важно знать: не переходите на премиум-план! </li>  
-
<li><a href="http://text.ru/antiplagiat/" style="color: rgb(0, 51, 51); text-decoration: underline;"><span style="color:#000080">проверка на &quot;Антиплагиат&quot;</span></a><span style="color:#000080"> </span></span></span></li>
+
<li><a href="https://document.online-convert.com/ru">универсальный он-лайн конвертер файлов:</a> для конвертирования исходных текстовых документов в форматы pdf-документов, ppt- и pptx-презентаций. </li> </ul>
-
</ul>
+
 
<h2><font face="Segoe Print" size="4" color="#8B008B"><b>Критерии оценки представленных работ:</b></font></h2>
<h2><font face="Segoe Print" size="4" color="#8B008B"><b>Критерии оценки представленных работ:</b></font></h2>
<div style="font-size: 14 px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255); font-family: Verdana;">
<div style="font-size: 14 px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; word-spacing: 0px; color: rgb(0, 0, 0); background-color: rgb(255, 255, 255); font-family: Verdana;">
<div>   
<div>   
<ol>
<ol>
-
<li style="text-align:justify">Содержание Ленты времени, размещенной на сайте в разделе  "Треугольник Паскаля" и отражающей биографию и научную деятельность Блеза Паскаля:
+
<li style="text-align:justify">На странице (страницах) сайта приведен список математических достижений В. Серпинского:
<ul>
<ul>
-
<li style="text-align:justify">на Ленте времени представлены не менее 5 хронологических колонок: <i>каждая колонка имеет хронологический заголовок (дата или период)</i>, <i>каждая колонка представлена постом (постами), имеющим заголовок и содержащим лаконичный авторский текст по теме проектного задания</i> </span></span> - &nbsp;до </span><span style="color:#B22222"><strong>2</strong></span><span style="color:rgb(12, 52, 61)">&nbsp;баллов за колонку, но не более 20 баллов;</span></span></span></li>
+
<li style="text-align:justify">в виде простого перечисления  без обоснования – &nbsp;до </span><span style="color:#B22222"><strong>3</strong></span><span style="color:rgb(12, 52, 61)">&nbsp;баллов</li>
-
<li>информативность Ленты (отражение наиболее значимых событий в жизни Б.Паскаля) - до &nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>3</strong></span>&nbsp;баллов</span></span></li>
+
<li>с обоснованием особой значимости для математической науки - до &nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>10</strong></span>&nbsp;баллов</span></span></li>
-
<li>в содержании Ленты упомянуты изобретения Б. Паскаля  - до &nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>3</strong></span>&nbsp;баллов</span></span></li>
+
-
<li>в содержании Ленты отражен вклад Б. Паскаля в развитие математики  - до &nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>3</strong></span>&nbsp;баллов</span></span></li>
+
</ul></li>
</ul></li>
-
<li>Обобщение результатов исследования треугольника Паскаля на страницах  flash-сайта в разделе "Треугольник Паскаля"::
+
<li>В исследовании отмечены понятия (термины), которые В. Серпинский ввел в современный математический понятийный аппарат - до &nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>5</strong></span>&nbsp;баллов</span></span></li>
 +
<li>Приведены примеры реально существующих объектов, в орнаменте которых можно выделить фракталы Серпинского:
<ul>
<ul>
-
<li>приведены примеры различных вариантов изображения арифметического треугольника с указанием имен математиков и работ, в которых они встречаются- до &nbsp;</span><span style="color:#B22222"><strong>2</strong></span><span style="color:rgb(12, 52, 61)">&nbsp;баллов за вариант треугольника;</span></span></span></li>
+
<li>в виде простого перечисления этих объектов - до &nbsp;</span><span style="color:#B22222"><strong>2</strong></span><span style="color:rgb(12, 52, 61)">&nbsp;баллов</li>
-
<li style="text-align:justify">приведена краткая сравнительная характеристика каждого варианта</span></span> - до &nbsp;</span><span style="color:#B22222"><strong>3</strong></span><span style="color:rgb(12, 52, 61)">&nbsp;баллов;</span></span></span></li>
+
<li style="text-align:justify">с описанием объектов - до &nbsp;</span><span style="color:#B22222"><strong>5</strong></span><span style="color:rgb(12, 52, 61)">&nbsp;баллов;</span></span></span></li></ul></li>
-
<li>перечислены свойства, которыми обладает арифметический треугольник Паскаля - до &nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>2</strong></span><span style="color:rgb(12, 52, 61)">&nbsp;баллов за
+
<li>Грамотность и ясность изложения материала - до &nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>3</strong></span><span style="color:rgb(12, 52, 61)">&nbsp;баллов </li>
-
свойство, но не более 40 баллов</span></span></span></li>
+
<li>При выполнении практической работы:
-
</ul>
+
<ul>
-
</li>
+
<li>описан и обоснован математический подход, используемый при построении фрактала  - до<strong> <span style="color:#B22222">5</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li>
-
<li style="text-align:justify">Оформление Ленты времени:  
+
<li>дано описание  обнаруженных закономерностей - до<strong> <span style="color:#B22222">5</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li></ul></li>
 +
<li>Оформление раздела сайта "Треугольник Серпинского":
<ul>
<ul>
-
<li>читабельность текста (с минимумом встроенных в текст гиперссылок) для каждой колонки - до<strong> <span style="color:#B22222">3</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li>
+
<li>использование единого стиля на всех страницах раздела - до<strong> <span style="color:#B22222">2</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li>
-
<li>использование разнообразных медиаресурсов (звуковых, графических (фотографий, рисунков, репродукций, карт), видео) - до<strong> <span style="color:#B22222">5</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li>
+
<li>используемая навигация обеспечивает доступность и удобство восприятия информации - до<strong> <span style="color:#B22222">2</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li>
-
<li>ссылки на первоисточник  для каждой колонки (интерактивное название сайта; название библиографического издания с указание автора, издательства, года издания и используемых страниц)- до<strong> <span style="color:#B22222">3</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li>
+
<li>соответствие художественного оформления страниц размещенной на них информации - до<strong> <span style="color:#B22222">3</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li>
-
<li>эстетичность Ленты - до<strong> <span style="color:#B22222">3</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li>
+
<li>сбалансированность цветовой схемы, шрифтов и картинок - до<strong> <span style="color:#B22222">3</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li>
-
<li style="text-align:justify">Хронологическая Лента:<br>  
+
<li>использование визуальных эффектов, в т.ч. эффекта параллакса - до<strong> <span style="color:#B22222">3</span>&nbsp;</strong>баллов</span></span></li></ul></li>
-
  ** встроена в страницу сайта в режиме "только чтение" - &nbsp;<strong><span style="color:#B22222">3</span> </strong>&nbsp;балла</span></span><br>
+
<li style="text-align:justify">Оформление практической работы:
-
  ** или представлена гиперссылкой - &nbsp;<strong><span style="color:#B22222">1</span> </strong>&nbsp;балл</span></span></li>
+
<ul>
 +
<li> на основе использования ресурсов сайта создано  и размещено  на соответствующей странице слайд-шоу, демонстрирующее последовательность построения фрактала  (с комментариями) и конечный результат - до&nbsp;<strong><span style="color:#B22222">5</span> </strong>&nbsp;баллов</span></span></li>
 +
<li><b>7-8 класс:</b><br>
 +
  ** построение выполнено на листе бумаги произвольного размера с сохранением карандашных линий построения и вспомогательных записей  – до&nbsp;<strong><span style="color:#B22222">10</span> </strong>&nbsp;баллов</span></span><br>
 +
** на сайте приведена прямая ссылка на загруженный графический файл (на выбор участника: формат pdf) - &nbsp;<strong><span style="color:#B22222">2</span> </strong>&nbsp;балла</span></span><br> </li>
 +
<li><b>9-10 класс:</b><br>
 +
  **построение выполнено с использованием электронной таблицы (MS Excel и т.п.); в слайд-шоу включены скриншоты экрана с хорошо просматриваемой формулой, по которой заполнялись ячейки треугольника, и настройкой, с помощью которой заливались цветом соответствующие ячейки –  – до&nbsp;<strong><span style="color:#B22222">10</span> </strong>&nbsp;баллов</span></span><br>
 +
** на сайте приведена прямая ссылка на загруженный графический файл (на выбор участника: формат pdf) - &nbsp;<strong><span style="color:#B22222">2</span> </strong>&nbsp;балла</span></span><br> </li>
</ul></li>
</ul></li>
-
<li style="text-align:justify">Оформление раздела сайта "Треугольник Паскаля":
 
-
<ul>
 
-
<li style="text-align:justify">использование единого стиля на всех страницах раздела  - до&nbsp;<strong><span style="color:#B22222">2</span> </strong>&nbsp;баллов</span></span></li>
 
-
<li style="text-align:justify">используемая навигация обеспечивает доступность и удобство восприятия информации  - до&nbsp;<strong><span style="color:#B22222">2</span> </strong>&nbsp;баллов</span></span></li>
 
-
<li style="text-align:justify">соответствие художественного оформления страниц размещенной на них  информации  - до&nbsp;<strong><span style="color:#B22222">3</span> </strong>&nbsp;баллов</span></span></li>
 
-
<li style="text-align:justify">сбалансированность цветовой схемы, шрифтов и картинок  - до&nbsp;<strong><span style="color:#B22222">3</span> </strong>&nbsp;баллов</span></span></li>
 
-
<li style="text-align:justify">использование визуальных эффектов, в т.ч. эффекта <i><b>параллакса</b></i>  - до&nbsp;<strong><span style="color:#B22222">3</span> </strong>&nbsp;баллов</span></span></li></ul></li>
 
<li style="text-align:justify">Бонус за содержание -  до&nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>5</strong></span> баллов</span></span></li>
<li style="text-align:justify">Бонус за содержание -  до&nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>5</strong></span> баллов</span></span></li>
<li style="text-align:justify">Бонус за оформление -  до&nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>5</strong></span> баллов</span></span></li>
<li style="text-align:justify">Бонус за оформление -  до&nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>5</strong></span> баллов</span></span></li>
-
<li style="text-align:justify">По результатам работы создан и размещен на одном из облачных сервисов (Яндекс.Диск, Мail.Ru) pdf-документ; ссылка на документ опубликована на странице участника - &nbsp;<span style="color:#B22222"><strong>1</strong></span> балл</span></span></li>
 
</ol>
</ol>
<p style="text-align:justify">&nbsp;</p>
<p style="text-align:justify">&nbsp;</p>
-
<div style="text-align: justify;"><strong>Максимальное количество баллов&nbsp;&nbsp;-&nbsp;<span style="color:#B22222">...</span> </strong></span></span></div>
+
<div style="text-align: justify;"><strong>Максимальное количество баллов&nbsp;&nbsp;-&nbsp;<span style="color:#B22222">43</span> </strong></span></span></div>
<div style="font-style: italic; color: rgb(0, 0, 153);"><br />
<div style="font-style: italic; color: rgb(0, 0, 153);"><br />

Версия 19:56, 12 апреля 2021

    

    




Тайны натуральных чисел
В мире бесконечности
Бином Ньютона
Треугольник Паскаля
Треугольник Серпинского
Викторина в проекте (26.03 - 30.03.2021)
ДОСКА ОБЪЯВЛЕНИЙ
  1. ВНИМАНИЕ! В связи с нестабильной работой сайта приняты решения: 1. Создать "запасной сайт проекта" 2. Продлить Этап "Бином Ньютона" до 02.03.2021. 3. Начинаем проверять Этап "В мире бесконечности" по тем сайтам, которые уже созданы.
  2. Не все участники определились с wix-сайтами. Срочно пришлите адреса своих сайтов - те участники, кто это еще не сделал. Почта: Lvovaalla@yandex.ru
  3. ЭКСПЕРТНЫЕ ТАБЛИЦЫ смотрите на сайте Запасной сайт X проекта в разделе РЕЙТИНГ УЧАСТНИКОВ
  4. Важное замечание о конечном продукте - - см. ЗДЕСЬ
Авторы и координаторы проекта
Пчелинцева Татьяна Александровна, автор проекта - заслуженный учитель Российской Федерации, методист регионального Центра поддержки одаренных детей "Платформа 33" ГАОУ ДПО ВО ВИРО.

Тел. +7(4922)77-85-99.

E-mail: pchelintsewata@yandex.ru

Львова Алла Геннадьевна, соавтор и координатор проекта - учитель математики и информатики высшей квалификационной категории (Судогодский район), методист ГАОУ ДПО ВО ВИРО.

Тел. +7-915-764-2232 .

E-mail: Lvovaalla@yandex.ru

Антонова Елена Ивановна, координатор проекта - кандидат педагогических наук, заведующий кафедрой естественно-математического образования ГАОУ ДПО ВО ВИРО.

Тел. 8-4922-328385

E-mail: antonova-e-i@mail.ru

Эмблема участника проекта
Дорогие ребята! Если вы зарегистрированы на сайте Wiki-Владимир, вставьте на своей страничке строку {{Участник проекта Тайны натурального ряда чисел}} и получите вот такой значок
УЧАСТНИКИ ПРОЕКТА
Команды/7-8
  1. Art'el
  2. Aurum
  3. Анимешники
  4. Арлексви
  5. АтОМ
  6. вКвадрате2.0
  7. Дважды два
  8. Девятн@шка
  9. Зайчики
  10. За СКОБКАМИ
  11. Золотое сечение
  12. Интеллектуалы
  13. Квадрапумбы
  14. Квадратура круга
  15. КвадРо
  16. Константа
  17. Кумиры
  18. Маги чисел
  19. Малышки
  20. Мандаринки
  21. МиниМэтры
  22. Мир чисел
  23. На все 100
  24. Наша точка роста
  25. Пингвы
  26. Пифагоры юные
  27. ПЛЮСкомпромейшен
  28. Пчелки-труженицы
  29. Пятый элемент
  30. Сплинтеры
  31. ТриУм
  32. ТРИшка
  33. Узы гипотенузы
  34. Фибоначчи
  35. Формула успеха
  36. Эзотерики
  37. Экстремалы
  38. Юные гуманисты
  39. 3,14лигрим
Команды/9-10
  1. Constanta
  2. Non Stop
  3. Алый парус
  4. Амёбы
  5. Антьешки
  6. Бесконечность
  7. Вектор
  8. Величайшие
  9. Гардемарины
  10. ЗА СКОБКАМИ
  11. Исключение из правил
  12. КомпАс
  13. Люди Х
  14. НоЛиКи
  15. Пиковые дамы
  16. ПинКод
  17. Семёрочка
  18. Семнашка
  19. Числовые гении
Индивидуальные участники/7-8
  1. Агриков Алексей
  2. Акимова Мария
  3. Анисимова Виктория
  4. Большакова Елизавета
  5. Воронин Сергей
  6. Дудова Елена
  7. Егоров Серафим
  8. Зайцева Варвара
  9. Исаева Ариана
  10. Мелехова Евгения
  11. Рязанцева Юлия
  12. Савина Вика
  13. Савинова Катя
  14. Трифонова Яна
  15. Трофимова Виктория
  16. Трутнева Майя
  17. Чернова Дарья
Индивидуальные участники/9-10
  1. Балашов Илья
  2. Бардина Анна
  3. Винник Анастасия
  4. Гречанюк Мария
  5. Григорян Варвара
  6. Дудулин Михаил
  7. Дюкова Алиса
  8. Засорин Евгений
  9. Лапина Екатерина
  10. Смирнов Александр








Треугольник Серпинского Сроки этапа:  09.03.2021-22.03.2021

Вацлав Серпинский

(1882–1962),

польский математик

«Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоится с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косного представления о математике»

Норберт Винер (1894 - 1964), американский математик, один из основоположников кибернетики и теории искусственного интеллекта

divider-2154993_1280.jpg

Фрактальная революция в геометрии, начало которой относится ко второй половине XX века и ознаменовано работой Бенуа Мандельброта (1924–2010) «Фрактальная геометрия природы» (1977), в конечном итоге затронула и такие традиционно негеометрические разделы математики, как теория чисел (арифметика) и перечислительная комбинаторика.

Понятие «фрактал» (от лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый), который ввел в математическую терминологию Б. Мандельброт, определяет множество, которое является самоподобным или приближенно самоподобным (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Фракталы можно встретить в метеорологии, астрономии, географии, биологии, механике, философии и даже истории. Система трубочек трахеи, вены на руке, русло реки, извилистая морская береговая линия, очертания гор, - фракталы вокруг нас повсюду.

На первый взгляд, фрактал - чисто геометрическое понятие. Однако изучение негеометрического объекта – множества биномиальных коэффициентов, выстроенных в треугольном порядке – обнаруживает потрясающую своей эстетичностью фрактальность арифметического треугольника.

Фрактальность треугольника Паскаля имеет свои особенности:

  • фракталы, выстраиваемые на основе арифметического треугольника, являются прежде всего числовыми, и только во вторую очередь - геометрическими;
  • выделение фрактальных структур связано с аналитическими расчетами (вычислениями);
  • в отличие от геометрических фракталов, которые могут самоподобно дробиться до бесконечно малых элементов, числовые фракталы арифметического треугольника имеют пределы самоподобной делимости.

Самоподобие треугольника Паскаля можно обнаружить при исследовании делимости его элементов на конкретные делители. Самый очевидный случай – исследование на четность/нечетность. Числовой фрактал, получаемый заменой элементов арифметического треугольника остатками от их деления на 2, является аналогом геометрического двумерного фрактала, который в математике известен как треугольник Серпинского. Чтобы построить геометрическую интерпретацию числового фрактала, достаточно элементы с остатком 0 (четные элементы) выделить красным (или любым другим) цветом, а оставшиеся элементы (нечетные) - белым.

Недра треугольника Паскаля полны неожиданностей. Предлагаем участникам проекта не только изучить научный вклад выдающегося польского математика Вацлава Серпинского в развитие математики, но и на практике обнаружить фрактальные структуры в случае конкретной делимости элементов арифметического треугольника.

Проектное задание

  1. Изучите научную деятельность польского математика Вацлава Серпинского:
    • определите наиболее значимый вклад математика в развитие отдельных направлений математической науки;
    • определите, какие математические понятия (термины), связанные с именем Вацлава Серпинского, известны в математике
    • приведите примеры реальных объектов, в орнаментах которых можно заметить фрактал "треугольник Серпинского"
  2. Выполните практическую работу:
    • 7-8 класс: постройте "вручную" фрактал, получаемый на основе исследования делимости на 4 первых 100 строк элементов треугольника Паскаля
    • 9-10 класс: постройте с использованием электронной таблицы (MS Excel и т.п.) фрактал, получаемый на основе исследования делимости на 5 первых первых 450-ти строк элементов треугольника Паскаля
    • опишите используемую технологию построения
    • опишите обнаруженные закономерности
  3. Опубликуйте результаты исследования на своем сайте (создайте раздел меню "Треугольник Серпинского").

Технологии выполнения задания

Критерии оценки представленных работ:

  1. На странице (страницах) сайта приведен список математических достижений В. Серпинского:
    • в виде простого перечисления без обоснования –  до 3 баллов
    • с обоснованием особой значимости для математической науки - до  10 баллов
  2. В исследовании отмечены понятия (термины), которые В. Серпинский ввел в современный математический понятийный аппарат - до  5 баллов
  3. Приведены примеры реально существующих объектов, в орнаменте которых можно выделить фракталы Серпинского:
    • в виде простого перечисления этих объектов - до  2 баллов
    • с описанием объектов - до  5 баллов;
  4. Грамотность и ясность изложения материала - до  3 баллов
  5. При выполнении практической работы:
    • описан и обоснован математический подход, используемый при построении фрактала - до 5 баллов
    • дано описание обнаруженных закономерностей - до 5 баллов
  6. Оформление раздела сайта "Треугольник Серпинского":
    • использование единого стиля на всех страницах раздела - до 2 баллов
    • используемая навигация обеспечивает доступность и удобство восприятия информации - до 2 баллов
    • соответствие художественного оформления страниц размещенной на них информации - до 3 баллов
    • сбалансированность цветовой схемы, шрифтов и картинок - до 3 баллов
    • использование визуальных эффектов, в т.ч. эффекта параллакса - до 3 баллов
  7. Оформление практической работы:
    • на основе использования ресурсов сайта создано и размещено на соответствующей странице слайд-шоу, демонстрирующее последовательность построения фрактала (с комментариями) и конечный результат - до 5  баллов
    • 7-8 класс:
      ** построение выполнено на листе бумаги произвольного размера с сохранением карандашных линий построения и вспомогательных записей – до 10  баллов
      ** на сайте приведена прямая ссылка на загруженный графический файл (на выбор участника: формат pdf) -  2  балла
    • 9-10 класс:
      **построение выполнено с использованием электронной таблицы (MS Excel и т.п.); в слайд-шоу включены скриншоты экрана с хорошо просматриваемой формулой, по которой заполнялись ячейки треугольника, и настройкой, с помощью которой заливались цветом соответствующие ячейки – – до 10  баллов
      ** на сайте приведена прямая ссылка на загруженный графический файл (на выбор участника: формат pdf) -  2  балла
  8. Бонус за содержание - до 5 баллов
  9. Бонус за оформление - до 5 баллов

 

Максимальное количество баллов  - 43