Тайны натурального ряда чисел/Треугольник Серпинского

Материал из Vladimir

Перейти к: навигация, поиск

    

    




Тайны натуральных чисел
В мире бесконечности
Бином Ньютона
Треугольник Паскаля
Треугольник Серпинского
Викторина в проекте (26.03 - 30.03.2021)
ДОСКА ОБЪЯВЛЕНИЙ
  1. ВНИМАНИЕ! В связи с нестабильной работой сайта приняты решения: 1. Создать "запасной сайт проекта" 2. Продлить Этап "Бином Ньютона" до 02.03.2021. 3. Начинаем проверять Этап "В мире бесконечности" по тем сайтам, которые уже созданы.
  2. Не все участники определились с wix-сайтами. Срочно пришлите адреса своих сайтов - те участники, кто это еще не сделал. Почта: Lvovaalla@yandex.ru
  3. ЭКСПЕРТНЫЕ ТАБЛИЦЫ смотрите на сайте Запасной сайт X проекта в разделе РЕЙТИНГ УЧАСТНИКОВ
  4. Важное замечание о конечном продукте - - см. ЗДЕСЬ
Авторы и координаторы проекта
Пчелинцева Татьяна Александровна, автор проекта - заслуженный учитель Российской Федерации, методист регионального Центра поддержки одаренных детей "Платформа 33" ГАОУ ДПО ВО ВИРО.

Тел. +7(4922)77-85-99.

E-mail: pchelintsewata@yandex.ru

Львова Алла Геннадьевна, соавтор и координатор проекта - учитель математики и информатики высшей квалификационной категории (Судогодский район), методист ГАОУ ДПО ВО ВИРО.

Тел. +7-915-764-2232 .

E-mail: Lvovaalla@yandex.ru

Антонова Елена Ивановна, координатор проекта - кандидат педагогических наук, заведующий кафедрой естественно-математического образования ГАОУ ДПО ВО ВИРО.

Тел. 8-4922-328385

E-mail: antonova-e-i@mail.ru

Эмблема участника проекта
Дорогие ребята! Если вы зарегистрированы на сайте Wiki-Владимир, вставьте на своей страничке строку {{Участник проекта Тайны натурального ряда чисел}} и получите вот такой значок
УЧАСТНИКИ ПРОЕКТА
Команды/7-8
  1. Art'el
  2. Aurum
  3. Анимешники
  4. Арлексви
  5. АтОМ
  6. вКвадрате2.0
  7. Дважды два
  8. Девятн@шка
  9. Зайчики
  10. За СКОБКАМИ
  11. Золотое сечение
  12. Интеллектуалы
  13. Квадрапумбы
  14. Квадратура круга
  15. КвадРо
  16. Константа
  17. Кумиры
  18. Маги чисел
  19. Малышки
  20. Мандаринки
  21. МиниМэтры
  22. Мир чисел
  23. На все 100
  24. Наша точка роста
  25. Пингвы
  26. Пифагоры юные
  27. ПЛЮСкомпромейшен
  28. Пчелки-труженицы
  29. Пятый элемент
  30. Сплинтеры
  31. ТриУм
  32. ТРИшка
  33. Узы гипотенузы
  34. Фибоначчи
  35. Формула успеха
  36. Эзотерики
  37. Экстремалы
  38. Юные гуманисты
  39. 3,14лигрим
Команды/9-10
  1. Constanta
  2. Non Stop
  3. Алый парус
  4. Амёбы
  5. Антьешки
  6. Бесконечность
  7. Вектор
  8. Величайшие
  9. Гардемарины
  10. ЗА СКОБКАМИ
  11. Исключение из правил
  12. КомпАс
  13. Люди Х
  14. НоЛиКи
  15. Пиковые дамы
  16. ПинКод
  17. Семёрочка
  18. Семнашка
  19. Числовые гении
Индивидуальные участники/7-8
  1. Агриков Алексей
  2. Акимова Мария
  3. Анисимова Виктория
  4. Большакова Елизавета
  5. Воронин Сергей
  6. Дудова Елена
  7. Егоров Серафим
  8. Зайцева Варвара
  9. Исаева Ариана
  10. Мелехова Евгения
  11. Рязанцева Юлия
  12. Савина Вика
  13. Савинова Катя
  14. Трифонова Яна
  15. Трофимова Виктория
  16. Трутнева Майя
  17. Чернова Дарья
Индивидуальные участники/9-10
  1. Балашов Илья
  2. Бардина Анна
  3. Винник Анастасия
  4. Гречанюк Мария
  5. Григорян Варвара
  6. Дудулин Михаил
  7. Дюкова Алиса
  8. Засорин Евгений
  9. Лапина Екатерина
  10. Смирнов Александр








Треугольник Серпинского Сроки этапа:  09.03.2021-22.03.2021

Вацлав Серпинский

(1882–1962),

польский математик

«Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоится с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косного представления о математике»

Норберт Винер (1894 - 1964), американский математик, один из основоположников кибернетики и теории искусственного интеллекта

divider-2154993_1280.jpg

Фрактальная революция в геометрии, начало которой относится ко второй половине XX века и ознаменовано работой Бенуа Мандельброта (1924–2010) «Фрактальная геометрия природы» (1977), в конечном итоге затронула и такие традиционно негеометрические разделы математики, как теория чисел (арифметика) и перечислительная комбинаторика.

Понятие «фрактал» (от лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый), который ввел в математическую терминологию Б. Мандельброт, определяет множество, которое является самоподобным или приближенно самоподобным (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Фракталы можно встретить в метеорологии, астрономии, географии, биологии, механике, философии и даже истории. Система трубочек трахеи, вены на руке, русло реки, извилистая морская береговая линия, очертания гор, - фракталы вокруг нас повсюду.

На первый взгляд, фрактал - чисто геометрическое понятие. Однако изучение негеометрического объекта – множества биномиальных коэффициентов, выстроенных в треугольном порядке – обнаруживает потрясающую своей эстетичностью фрактальность арифметического треугольника.

Фрактальность треугольника Паскаля имеет свои особенности:

  • фракталы, выстраиваемые на основе арифметического треугольника, являются прежде всего числовыми, и только во вторую очередь - геометрическими;
  • выделение фрактальных структур связано с аналитическими расчетами (вычислениями);
  • в отличие от геометрических фракталов, которые могут самоподобно дробиться до бесконечно малых элементов, числовые фракталы арифметического треугольника имеют пределы самоподобной делимости.

Самоподобие треугольника Паскаля можно обнаружить при исследовании делимости его элементов на конкретные делители. Самый очевидный случай – исследование на четность/нечетность. Числовой фрактал, получаемый заменой элементов арифметического треугольника остатками от их деления на 2, является аналогом геометрического двумерного фрактала, который в математике известен как треугольник Серпинского. Чтобы построить геометрическую интерпретацию числового фрактала, достаточно элементы с остатком 0 (четные элементы) выделить красным (или любым другим) цветом, а оставшиеся элементы (нечетные) - белым.

Недра треугольника Паскаля полны неожиданностей. Предлагаем участникам проекта не только изучить научный вклад выдающегося польского математика Вацлава Серпинского в развитие математики, но и на практике обнаружить фрактальные структуры в случае конкретной делимости элементов арифметического треугольника.

Проектное задание

  1. Изучите научную деятельность польского математика Вацлава Серпинского:
    • определите наиболее значимый вклад математика в развитие отдельных направлений математической науки;
    • определите, какие математические понятия (термины), связанные с именем Вацлава Серпинского, известны в математике
    • приведите примеры реальных объектов, в орнаментах которых можно заметить фрактал "треугольник Серпинского"
  2. Выполните практическую работу:
    • 7-8 класс: постройте "вручную" фрактал, получаемый на основе исследования делимости на 4 первых 100 строк элементов треугольника Паскаля
    • 9-10 класс: постройте с использованием электронной таблицы (MS Excel и т.п.) фрактал, получаемый на основе исследования делимости на 5 первых первых 450-ти строк элементов треугольника Паскаля
    • опишите используемую технологию построения
    • опишите обнаруженные закономерности
  3. Опубликуйте результаты исследования на своем сайте (создайте раздел меню "Треугольник Серпинского").

Технологии выполнения задания

Критерии оценки представленных работ:

  1. На странице (страницах) сайта приведен список математических достижений В. Серпинского:
    • в виде простого перечисления без обоснования –  до 3 баллов
    • с обоснованием особой значимости для математической науки - до  10 баллов
  2. В исследовании отмечены понятия (термины), которые В. Серпинский ввел в современный математический понятийный аппарат - до  5 баллов
  3. Приведены примеры реально существующих объектов, в орнаменте которых можно выделить фракталы Серпинского:
    • в виде простого перечисления этих объектов - до  2 баллов
    • с описанием объектов - до  5 баллов;
  4. Грамотность и ясность изложения материала - до  3 баллов
  5. При выполнении практической работы:
    • описан и обоснован математический подход, используемый при построении фрактала - до 5 баллов
    • дано описание обнаруженных закономерностей - до 5 баллов
  6. Оформление раздела сайта "Треугольник Серпинского":
    • использование единого стиля на всех страницах раздела - до 2 баллов
    • используемая навигация обеспечивает доступность и удобство восприятия информации - до 2 баллов
    • соответствие художественного оформления страниц размещенной на них информации - до 3 баллов
    • сбалансированность цветовой схемы, шрифтов и картинок - до 3 баллов
    • использование визуальных эффектов, в т.ч. эффекта параллакса - до 3 баллов
  7. Оформление практической работы:
    • на основе использования ресурсов сайта создано и размещено на соответствующей странице слайд-шоу, демонстрирующее последовательность построения фрактала (с комментариями) и конечный результат - до 5  баллов
    • 7-8 класс:
      ** построение выполнено на листе бумаги произвольного размера с сохранением карандашных линий построения и вспомогательных записей – до 10  баллов
      ** на сайте приведена прямая ссылка на загруженный графический файл (на выбор участника: формат pdf) -  2  балла
    • 9-10 класс:
      **построение выполнено с использованием электронной таблицы (MS Excel и т.п.); в слайд-шоу включены скриншоты экрана с хорошо просматриваемой формулой, по которой заполнялись ячейки треугольника, и настройкой, с помощью которой заливались цветом соответствующие ячейки – – до 10  баллов
      ** на сайте приведена прямая ссылка на загруженный графический файл (на выбор участника: формат pdf) -  2  балла
  8. Бонус за содержание - до 5 баллов
  9. Бонус за оформление - до 5 баллов

 

Максимальное количество баллов  - 76