Страница команды Алый парус

Материал из Vladimir

Перейти к: навигация, поиск

    

    




Алый Парус

Мы рады приветствовать вас на нашей странице!
Наши участники
Захар Шабанов
Анастасия Стакина
Анна Агапова
Дарья Зуева
Ирина Капсалыкова
Роман Курдюков
Руководитель: Лариса Владимировна Морозова - учитель математики,
email - morozovalvlv@yandex.ru

В мире бесконечности

О бесконечности

– Хочу порассуждать на очень серьезную тему, – начал Кий беседу с Харифом. – Она, на мой взгляд, кажется загадочней других. Как ты относишься к такому понятию, как бесконечность? Хариф поднял глаза к небу и сказал:

– Взгляни, небо усыпано множеством звездных светил, различных по яркости и размеру. Можем ли мы назвать точное их количество? Даже если мы и решимся посвятить свою жизнь подсчету звезд, то, боюсь, наши труды будут напрасны. Ведь мы видим лишь ничтожно маленькую часть того множества, которое нам уготовано Вселенной. Примеров, связанных с бесконечностью, можно привести много. Например, натуральные числа, возникающие естественным образом при счете предметов, также не имеют конца и края. Человека, задумавшего найти самое большое натуральное число, можно считать по праву сумасшедшим. Запомни, будучи бытием кратковременным, мы не способны охватить бесконечность.

– Что же это означает?

– А это, мой друг, мы оставим для размышления нашим потомкам.

PDF-файл

Бином Ньютона

Вопрос: Почему формула бинома носит имя И. Ньютона?
Ответ: Формула бинома носит имя И.Ньютона, потому что он распространил ее на любое действительное n, т. е. показал, что формула верна тогда и только тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным числом. В настоящее время употребление дробных, отрицательных и иррациональных показателей кажется каждому старшекласснику несложным делом, однако в 17 веке Ньютон был первым человеком в мире, начавшим систематически употреблять в алгебре показатели, отличные от целых положительных чисел. Простое, на первый взгляд дело, распространение этой формулы на действительные показатели, имело огромное значение для развития математики.

Вопрос: Верно ли исторически название «Бином Ньютона»?
Ответ: Несмотря на то, что формула бинома была известна намного ранее жизни И.Ньютона, именно этот великий математик обобщил эту формулу для действительных показателей. А значит название «Бином Ньютона» исторически верно.

Вопрос: Почему в разных странах мира формулу бинома Ньютона называют по-разному? Укажите все названия, которые найдете.
Ответ: Название формулы в разных странах зависило от имени учёного, сформулировавшего её. К примеру, в Германии эта формула скорее всего носила имя М.Штиффеля. Потому, что именно он составил таблицу биноминальных коэффициентов в разложении n-й степени бинома, будучи немецким математиком. Аналогично с названиями бинома Ньютона происходило и в других странах.

Применение формулы бинома Ньютона в математике и других науках.

Формула бинома Ньютона применяется в математике для решения задач на доказательство делимости, сокращение дробей, приближённые вычисления. Также она широко используется в комбинаторике и теории вероятностей. Помимо этого, мы можем увидеть упоминания бинома Ньютона даже в литературных произведениях. В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе «Мастер и Маргарита» М.А. Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате». Или, в повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…» Таблица

Треугольник Паскаля

Сделано на Padlet

Варианты изображения арифметического треугольника

Арифметический треугольник был известен в Китае в начале XI века благодаря работе китайского математика Цзя Сианя (1010–1070) А в 1303 году треугольник представлен в качестве иллюстрации в книге китайского математика Ян Хуэй
Источник

Изображение треугольника можно увидеть на обложке учебника арифметики известного астронома Петра Апиана из Ингольтштадского университета в начале 16 века
Источник

В Италии Паскалевский треугольник зовут другим именем, в честь итальянского алгебраиста Никколо Фонтана Тарталья (1500-1577)
Источник

Свойства треугольника Паскаля

  • Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
  • Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Треугольник можно продолжать неограниченно.
  • Первая диагональ - это натуральные числа, идущие по порядку
  • Вторая диагональ - это «треугольные» числа, которые показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальной расстановки шаров в бильярде.
  • Третья диагональ - это «пирамидальные» числа (один шар мы можем положить на три - итого четыре, под три подложим шесть - итого десять, и так далее).
  • Четвертая диагональ – это «фигурные числа» в четырехмерном измерении. Это можно представить только в виртуальном мире. Один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти…
  • Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.
  • В каждой строке сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.
  • Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, ...
  • Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.
  • Если номер строки – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.
  • Каждое число, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.
  • Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные - в белый, то образуется треугольник Серпинского .
  • В строке с номером n:
    первое и последнее числа равны 1.
    второе и предпоследнее числа равны n.
    третье число равно треугольному числу, что также равно сумме номеров предшествующих строк.
    четвёртое число является тетраэдрическим.
    m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному коэффициенту.
    сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи.
    Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
    Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2 в n-й степени. Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n тогда и только тогда, когда n является простым числом. Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
    Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
Результаты

Треугольник Серпинского

Скоро...

Викторина в проекте

Скоро...