Системы координат: взгляд в прошлое и в настоящее / Страница команды 3.14фагоровы штаны

Материал из Vladimir

Перейти к: навигация, поиск
Текст страница команды2.png
Текст пифагоровы штаны.png
Pifagorovi shtani.png

Этап 1. Давайте знакомиться!

Состав команды:

NPlw5Z8KhP0.jpg

     

Наша команда:
Мы команда 8Б класса.

1.Волкова Татьяна

2.Бакинова Екатерина

3.Барухов Кирилл

4.Белов Алексей


Наш девиз:

В математике сильны

3,14фагоровы штаны.

Нет команды лучше нашей

Розы Гранди нам не страшны.


Мы учимся в гимназии №1 имени А.Н.Барсукова города Коврова.


Наши руководители:
учитель математики - Пронина Елена Борисовна

(snpronina@mail.ru)

Сочинение-эссе - на тему "Как найти свое место под Солнцем"

Местоподсолнцем.jpg

"Места под солнцем, как правило, горячие."
(Александр Минченков)


Что же такое "место под солнцем"? Ответ знает каждый-это желание человека занять самое лучшее место в жизни, место, в котором он будет чувствовать себя хорошо. Это крылатое выражение встречается у Блеза Паскаля - известного французского математика и физика уже в 17 веке! Этот великий человек прожил лишь 39 лет, но за этот короткий срок он успел найти своё место в жизни.Паскаль являлся не только основателем таких важных вещей, как математический анализ, теория вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики, но и замечательным философом. Он стал единственным в новой истории великим литератором и великим математиком одновременно. Что же значит для нас "место под солнцем"?

Блез Паскаль
Рене Декарт
Для каждого человека высказывание "место под солнцем" значит что-то особенное. Кто-то хочет стать великим математиком или физиком, кто-то политиком, а кто-то учителем. В голову сразу приходит цитата из книги В.Каверина Два Капитана "Бороться и искать, найти и не сдаваться". Саня прошёл через множество испытаний, прежде чем он всё же добился того, о чём мечтал.

Наш проект посвящён Рене Декарту. Этот человек во многом схож с Блезом Паскалем. Он также жил во Франции в 17 веке и был математиком, физиком и философом. Работы Декарта произвели переворот в геометрии того времени. Ему тоже повезло найти своё место под солнцем.

Так и нам, современным людям, хочется найти своё "место под солнцем" . Мы стараемся участвовать во всех возможных конкурсах и проектах, чтобы сделать это. И этот проект не стал исключением! Мы, как и Саня Григорьев, будем "Бороться и искать, найдём и не сдадимся"!



Этап 2. Взгляд в прошлое!

В "Рассуждении о методе" Декарта есть четыре основных правила.

Правило первое: "никогда не принимать за истинное ничего, что я не познал бы с очевидностью, иначе говоря, тщательно избегать опрометчивости и предвзятости...".

Правило второе: "делить каждое из исследуемых мною затруднений на столько частей, сколько это возможно и нужно для лучшего их преодоления". Речь идет о своего рода мыслительной аналитике, о выделении простейшего в каждом ряде".

Правило третье: "придерживаться определенного порядка мышления, начиная с предметов наиболее простых и наиболее легко познаваемых и восходя постепенно к познанию наиболее сложного, предполагая порядок даже и там, где объекты мышления вовсе не даны в их естественной связи".

Правило четвертое: "составлять всегда перечни столь полные и обзоры столь общие, чтобы была уверенность в отсутствии упущений".

В математике при решении любых задач мы должны придерживаться каждого из этих правил. Сначала мы используем правило номер три. Начинаем с решения более простых задач, а затем решаемых всё более и более сложные. Затем-правило номер два. Задачу мы делим на несколько частей и решаемых её поэтапно. И тут нам пригодится правило номер четыре. Нужно рассматривать каждый аспект задачи так подробно, как только можно. Из этого пункта получается последний аспект правила. Правило номер один. Мы тщательно проверяемых решение и ответ, чтобы выявить ошибки.

Наиболее полезным правилом в "Рассуждение о методе..." Декарта мы считаем правило номер номер один, которое гласит:"никогда не принимать за истинное ничего, что я не познал бы с очевидностью, иначе говоря, тщательно избегать опрометчивости и предвзятости...". Данное правило помогает людям понять, что не стоит делать поспешных выводов, а с наибольшой точностью разбираться во всём. В науке, а особенно в математике это необходимо. Нужно точно продумывать каждый свой шаг, каждое своё дальнейшее действие, чтобы не оступиться и не сделать ошибку. Со слов Декарта это не вера в шаткое свидетельство человеческих чувств и не обманчивое суждение беспорядочного воображения, а прочное понятие ясного и внимательного ума, порожденное лишь естественным светом разума и благодаря своей простоте более достоверное, чем сама дедукция. Этим правилом Рене Декарт пытался донести до людей, что если они не будут делать опрометчивых, предвзятых и поспешных выводов, то они смогут найти правильное решение.

Спираль Архимеда (ρ=aφ)

Как получить Спираль Архимеда?

Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.

Свойство спирали Архимеда

Левая и правая спирали Архимеда
  • Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах выражает ее основное свойство, какую бы точку этой спирали мы ни взяли, отношение длины ее радиус-вектора (расстояния от начала координат до выбранной точки) к полярному углу (отсчитываемому от некоторого фиксированного направления) будет одним и тем же и равным 2πа.
  • При раскручивании спирали, расстояние от одной точки до другой стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть, чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.
  • При вращении луча против часовой стрелки (положительным значениям φ) получается правая спираль, при вращении — по часовой стрелке — левая спираль.
  • Спираль может оживать. При вращение диска в одну сторону спираль закручивается, а в другую раскручивается.
  • Состоит из бесконечного количества витков.
  • Спираль Архимеда по форме близка к кругу.
  • Спираль Архимеда – симметричная кривая, относительно перпендикуляра, проведенного из полюса О к оси Ох.
  • Угол подъема спирали определяется по формуле tgθ=1/φ
  • Площадь, заключенная между спиралью и прямой, пришедшей в первоначальное положение, равна третьей части площади круга, центр которого — неподвижная точка, а радиус равен части прямой, которую прошла точка во время одного оборота прямой.
  • Если прямая, сделавшая оборот, и точка, двигавшаяся по этой прямой, будут продолжать свое движение, повторяя свои вращения, приходя каждый раз снова в первоначальное положение, то площадь, заключенная в витке, полученном от третьего вращения, вдвое больше площади, заключенной в витке второго вращения, и т.д.
  • Скорость, с которой точка описывает спираль, в каждой произвольной точке направлена по касательной к спирали в этой точке. Если известно, как направлена эта скорость, то можно построить касательную.

Примеры технических устройств и природных объектов, в которых можно обнаружить спираль Архимеда

Спираль Архимеда нашла практическое применение в математике, технике, архитектуре, машиностроении. Самым распространенным техническим устройством является винт Архимеда — механизм, исторически использовавшийся для передачи воды из низколежащих водоёмов в оросительные каналы. Он был одним из нескольких изобретений и открытий, традиционно приписываемых Архимеду. Архимедов винт стал прообразом шнека («улитки») – устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов.

Винт Архимеда
Шнек соковыжималки
Шнек мясорубки

По спирали Архимеда идёт, например, на грампластинке звуковая дорожка.Перемещение острия корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений: приближения к полюсу и вращение вокруг полюса.Металлическая пластина с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной ёмкости. Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.

Спираль Архимеда находит применение в так называемых кулачковых механизмах, которые преобразуют вращательное движение шайбы в поступательное движение стержня. В некоторых механизмах (например, в часах) требуется, чтобы стержень двигался равномерно. Обеспечить это можно, очертив профиль шестеренки по спирали Архимеда. Примером применения спирали Архимеда в технике можно привести самоцентрирующийся патрон, направляющие канавки которого выполнены по спирали Архимеда. При одном повороте диска этого патрона кулачки перемещаются на величину радиального расстояния смежных канавок.

Паук плетёт паутину по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Звуковые дорожки на CD и DVD дисках также имеют форму спирали Архимеда.

Перемещение острия корундовой иглы по грампластинке
Паук плетёт паутину
CD диски
Винтовая лестница
Фрагмент цепочки ДНК


Логарифмическая спираль(ρ=aφ)

Как получить логарифмическую спираль?

Давайте теперь представим, что наш жучок движется по секундной стрелке не с постоянной (как в случае архимедовой спирали) скоростью, а с возрастающей, причем это возрастание пропорционально расстоянию от центра часов. Тогда траектория движения стрелки и жучка будет задавать логарифмическую спираль.

Свойства логарифмической спирали:

  • Главная ее особенность заключается в том, что она пересекает все лучи, исходящие из центральной точки — полюса под одним и тем же углом.
  • Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной.
  • Прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен
  • Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее начала до этой точки.
  • Расстояние между витками растет с увеличением угла
  • Касательная в каждой точке логарифмической спирали образовывает с радиус-вектором в каждой точке всегда один и тот же угол.
  • Кинематическое свойство. Если дуга логарифмической спирали катится (без скольжения) по прямой АВ, то центр кривизны, соответствующий точке касания, движется по прямой, наклоненной к АВ под углом π/2 - α .
  • Картографическое свойство. Сферическая линия, пересекающая меридианы под постоянным углом α (эта линия называется локсодромой (Что значит «кособежная» — от греческих слов «локсос» — косой и «дромос» — бег. Корабль, сохраняющий неизменный курс, движется по локсодроме. )), проецируется из полюса сферы Р на плоскость экватора логарифмической спиралью; полюс последней находится в центре сферы. Меридианы проецируются при этом лучами, направленными по полярным радиусам спирали; эти лучи пересекаются спиралью под тем же углом а, под которым локсодрома пересекает меридианы.
  • Спираль, дуга которой растет пропорционально полярному радиусу, обладает тем свойством, что ее касательная образует постоянный угол с полярным радиусом.
  • Спираль имеет бесконечное множество витков и при раскручивании, и при скручивании.
  • Спираль не проходит через свой полюс.
  • Спираль ассиметрична
  • Якоб Бернулли обнаружил еще одну необычную особенность, самоподобие, которая прямо связывает эту спираль с фракталами.
  • Логарифмическая спираль вырождается соответственно в прямую линию и окружность при значениях углов φ = 0 и φ = 90°. Замечательным является тот факт, что спираль имеет свойства, как прямой линии, так и окружности.
  • Архимедова спираль имеет связь с последовательностью Фибоначчи.

Примеры технических устройств и природных объектов, в которых можно обнаружить логарифмическую спираль

По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система. Штормы и ураганы дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей. По логарифмической спирали формируется тело циклона.

Если мы посмотрим сверху на любую сосновую шишку, увидим, что ее семена располагаются в виде большого числа спиралей. Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в подсолнухе семечки расположены по дугам, также близким к логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям выстраиваются рога многих животных.

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали.

Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Траектории насекомых, летящих на свет, также описывают логарифмическую спираль.

Ушная улитка является органом, воспринимающим звук, в котором самой природой заложена логарифмическая спираль. Логарифмическую спираль можно увидеть в плетение корзинки из волос.

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиусы-векторы под одним и тем же углом. Так, например, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали. В гидротехнике по логарифмической спирали завертывают трубу, подводящую ток воды к лопастям турбинного колеса. Постоянство угла обеспечивает здесь то, что потери энергии на изменение, и следовательно, напор воды используется с максимальной производительностью. В теории механизмов логарифмическая спираль применяется при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом. Логарифмическая спираль широко применяется при построении профиля лопаток центробежного насоса. Наибольшее применение получили цилиндрические витые пружины из круглой проволоки, имеющие вид логарифмической спирали, которые применяют в автомобилестроение и тракторостроение.

Спираль используется для решения задач бизнеса. При помощи её анализируются ценовые данные по акциям и товарам. С помощью логарифмической спирали можно определить поведение цены в определенное время. Также, логарифмическая спираль указывает на определенную симметричность в ценовых формах, из чего следует, что движения стоимости актива стереотипны и их поведение предугадываемо. Основным условием для применения логарифмической спирали является необходимость правильного нахождения центра спирали, который можно обнаружить как в высших, так и низших экстремальных точек, а также и в середине.

Горный баран
Подсолнух
‎Галактика вблизи млечного пути
Торнадо
Моллюск
Ветровая турбина
Цветок

Построение спирали Архимеда и логарифмической спирали

Спираль Архимеда
ρ=aφ
     
Логарифмическая спираль
ρ=aφ
Spiral of Archimedes preview.gif
Logarifmpreview.gif
Открыть в увеличенном виде (6Mb)
Открыть в увеличенном виде (5Mb)

Анимация спирали Архимеда
Spiral Archimeda move.gif

Анимация логарифмической спирали
Logarifm move.gif

Моделирование спирали Архимеда на компьютере
     

Моделирование спирали Архимеда на компьютере


Посмотреть PDF файл 2 этапа в полный экран

Наш кинозал


Этап 3. Взгляд в настоящее!

Кардиоида ρ=4(1-cos(φ))
в полярной системе координат
     
Кардиоида ρ=4(1-cos(φ))
в декартовой системе координат
KardPolar.jpg       KardDekart.jpg

Построение кардиоиды

Системы координат

Этап 4. На вернисаже как-то раз...

Роза Гранди
ρ=sin(3φ)
     
Роза Гранди
ρ=sin(6φ)+1
Роза Гранди 3.png
Роза Гранди 6.png
Роза 4.png
Роза 6.png
Бабочка
ρ=2.5sin(3φ)+3cos(2φ)-0.5sin(φ)-17/11sin(7φ)-0.4cos(20φ)+2sin(5φ)-2cos(4φ)+7
Таблица бабочки.png
Бабочка.png


Участник проекта Системы координат: взгляд в прошлое и в настоящее

.