Решение уравнений и неравенств с параметром

Материал из Vladimir

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Структура программы

Программа является обучающей и содержит:

1. Пояснительную записку.

2. Цель курса.

3. Задачи курса.

4.Формы проведения занятий.

5.Формы контроля.

6. Примерное тематическое планирование.

7. Содержание курса.

8. Требования к умениям и навыкам.

9. Критерии оценок.

10. Литература.

Пояснительная записка

Данный курс «Решение уравнений и неравенств с параметром» поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового курса математики. Данная программа сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и ее приложения, и которым захочется глубже познакомиться с ее методами и идеями. Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы .Стоит отметить, что навыки в решении уравнений и неравенств с параметром необходимы ученикам, желающим подготовиться для успешной сдачи централизованного тестирования и ЕГЭ, а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических олимпиадах. Задания такого типа вызывают затруднения у учащихся, так как практических заданий по данной теме в школьных учебниках мало. Задачи с параметрами – эффективное упражнение для развития интеллекта, математического и логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать. Каждое из заданий с параметрами представляет для учащихся небольшую исследовательскую работу, справившись с которой, ученик поднимается на одну ступеньку выше в своем понимании методов решения математических задач. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности. Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых каждому члену современного общества, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, связанные существенным образом с математикой.

Цель курса

  • создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности;
  • расширения их знаний по решению уравнений с параметром;
  • углубления навыков решения неравенств с параметром;
  • систематизации полученных знаний, умений и навыков при решении заданий ЕГЭ, содержащих параметры.

Задачи курса

  • научить ребят решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности;
  • активизировать познавательную деятельность школьников;
  • помочь в подготовке к успешной сдаче ЕГЭ по математике;
  • работать над формированием у учащихся навыков решения заданий повышенной сложности – уравнений и неравенств, содержащих параметр;
  • обеспечить педагогические условия для развития личности школьника, его творческого потенциала;
  • формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе.

Формы проведения занятий

  • объяснение,
  • лекция,
  • беседа,
  • устные и письменные упражнения,
  • выполнение тренировочных заданий,
  • выполнение творческих заданий.

Предусмотрены следующие направления деятельности учащихся:

  • участие в семинарах, рассматривающих теоретические положения;
  • участие в практикумах по решению упражнений;
  • подготовка карточек – заданий для одноклассников;
  • выполнение творческой работы;
  • устные сообщения учащихся о своей работе.

Формы контроля

Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов производится на каждом занятии благодаря использованию практикумов, самостоятельных работ, тестов, консультаций.

Формой итоговой отчетности учащихся является выполнение итогового теста или защита реферата (по выбору учащихся).

Примерные темы рефератов:<p>

1.Уравнения с параметром в заданиях ЕГЭ.

2.Неравенства с параметром в заданиях ЕГЭ.

3.Решение квадратичных уравнений и неравенств в заданиях ЕГЭ.

4.Уравнения с параметром в заданиях ГИА.

5.Неравенства с параметром в заданиях ГИА.

6.Решение квадратичных уравнений и неравенств в заданиях ГИА.

7.Из истории возникновения параметра.

Определение динамики интереса учащихся к данному курсу выясняется через:

  • анкетирование учащихся,
  • тренинг,
  • собеседование в процессе работы.

Учебно – тематический план

Тема Кол – во часов
1. Решение линейных уравнений с параметром. 1 ч.
2. Квадратный трехчлен. Квадратные уравнения. 2 ч.
3. Теорема Виета. Знаки корней квадратного уравнения. 2 ч.
4. Частные случаи нахождения корней квадратного уравнения. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра. 2 ч.
5. Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции. 2 ч.
6. Решение дробно- рациональных уравнений с параметром. 2 ч.
7. Тригонометрические уравнения с параметром. 2 ч.
8. Иррациональные уравнения с параметром. 2 ч.
9. Показательные уравнения с параметром. 2 ч.
10. Решение логарифмических уравнений, содержащих параметр. 2 ч.
11. Решение систем уравнений с параметром 2 ч.
12. Решение задач с параметрами 2 ч.
13. Линейные неравенства с параметром. 2 ч.
14. Квадратичные неравенства с параметром. 1 ч.
15. Тригонометрические неравенства с параметром. 1 ч.
16. Иррациональные неравенства с параметром. 1 ч.
17. Показательные неравенства с параметром. 1 ч.
18. Логарифмические неравенства с параметром. 1 ч.
19. Параметр в заданиях единого государственного экзамена. 3 ч.
20. Тестирование. Защита рефератов. 1 ч.

ИТОГО: 34 ч.

Содержание курса

Тема 1. Решение линейных уравнений с параметром

Понятие параметра. Что значит решить уравнение с параметром? Примеры решения линейных уравнений с параметром.

Тема 2. Квадратный трехчлен. Квадратные уравнения.

Понятие квадратного трехчлена. Общие сведения. Значение квадратного трехчлена при различных значениях переменной. Корни квадратного трехчлена. Составление квадратного трехчлена по его корням. Определение квадратного уравнения. Решение уравнений выделением квадрата двучлена. Решение квадратных уравнений по формуле.

Тема 3 Теорема Виета. . Знаки корней квадратного уравнения.

Формулировка теоремы Виета. Примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. Определение знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра.

Тема 4. Частные случаи нахождения корней квадратного уравнения. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра.

Примеры применения свойств квадратного трехчлена. Теорема о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного числового промежутка.

Тема 5. Наименьшее и наибольшее значения квадратичной функции.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции. Примеры вычисления наибольшего и наименьшего значений функции.

Тема 6. Решение дробно – рациональных уравнений, содержащих параметр.

Примеры решения дробно – рациональных уравнений с параметром, сводящиеся к линейным или квадратным уравнениям. Исключение посторонних корней, т. е. чисел, которые обращают знаменатель в нуль. Нахождение значения параметра, обращающего знаменатель в нуль, т. е. решение соответствующего уравнения относительно параметра.

Тема 7. Решение тригонометрических уравнений с параметром.

При решении тригонометрических уравнений с параметром необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений с параметром сводится к нахождению корней одного из простейших тригонометрических уравнений.

Тема 8. Иррациональные уравнения с параметром.

Решение иррациональных уравнений сводится к постепенному переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения. В этом случае возможно появление посторонних корней. Поэтому, решение должно сопровождаться тщательной проверкой. При решении иррациональных уравнений с параметром необходимо учитывать область допустимых значений уравнения.

Тема 9. Показательные уравнения с параметром.

Многие показательные уравнения с параметром сводятся к элементарным показательным уравнениям. Областью определения показательных уравнений служит общая часть областей определения функций, стоящих в показателях.

Тема 10. Логарифмические уравнения с параметром.

Решение логарифмических уравнений с параметром сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнения такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Тема 11. Решение систем уравнений с параметром.

Формирование умений решать системы линейных уравнений, содержащих параметр. Решение систем уравнений с параметром, где одно из уравнений квадратное. Решение систем уравнений с параметром, где одно из уравнений показательное или логарифмическое.

Тема 12. Решение задач с параметрами.

При решении текстовых задач с параметрами рассматриваются допустимые значения параметра, которые зависят от условия задачи. В некоторых из этих задач, учитывая возможность проведения дополнительных исследований, ответ может быть доведен до определения конкретного значения параметра.

Тема13.Линейные неравенства с параметром.

Примеры решения линейных неравенств с параметром. Решение неравенств, приводимых к линейным. Решение неравенств, приводимых к системе линейных неравенств.

Тема 14 Квадратичные неравенства с параметром.

Использование метода интервалов при решении квадратичных неравенств. Применение свойства корней квадратичной функции. Рассмотрение графического способа решения квадратичных неравенств с параметром.

Тема15. Тригонометрические неравенства с параметром.

Примеры решения тригонометрических неравенств с параметром. При решении тригонометрических неравенств с параметром необходимо учитывать область допустимых значений тригонометрических функций.

Тема 16. Иррациональные неравенства с параметром

Примеры решения иррациональных неравенств с параметром. При решении иррациональных неравенств с параметром необходимо учитывать область допустимых значений функции.

Тема 17. Показательные неравенства с параметром.

Примеры решения показательных неравенств с параметром. Использование свойств показательных функций.

Тема 18. Логарифмические неравенства с параметром.

Примеры решения логарифмических неравенств с параметром. Использование свойств логарифмических функций.

Тема 19. Параметр в заданиях единого государственного экзамена.

Рассмотрение заданий ЕГЭ, включающих решение уравнений и неравенств с параметром за предыдущие годы.

Требования к умениям и навыкам

  • точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;
  • преобразовывать квадратный трехчлен, раскладывать на линейные множители, выделять квадрат двучлена;
  • проводить самостоятельное исследование корней квадратного трехчлена;
  • решать типовые задания с параметром, требующие исследования расположения корней квадратного трехчлена.

Критерии оценок

  • Оценка «отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно. Как правило, для получения высокой оценки учащийся должен показать не только знание теории и владение набором стандартных методов, но и известную сообразительность и математическую культуру.
  • Оценка «хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.
  • Оценка «удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.
  • Оценка «неудовлетворительно» - ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, не справляется с решением простых задач.

Критерии оценки реферата

  • новизна авторского текста (самостоятельность в постановке проблемы и формулировании нового аспекта известной проблемы),
  • соответствие реферата теме,
  • глубина и полнота раскрытия темы,
  • адекватность передачи первоисточника,
  • логичность, связность,
  • доказательность,
  • структурная упорядоченность (наличие введения, основной части, заключения,их оптимальное соотношение),
  • оформление (наличие плана, списка литературы, культура цитирования, сноски и т. д.),
  • языковая правильность.

Литература

  • 1. Амелькин В.В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. Минск, 1996 .
  • 2. Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Уравнения и неравенства второй степени с параметром и к ним сводимые: Пособие для учителей и учащихся. Воронеж, 2000 .
  • 3. Горштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. Москва; Харьков, 1998 .
  • 4. Данкова И. Н., Бондаренко Г. Е., Емелина Л. Л., Плетнева О. К. Предпрофильная подготовка учащихся 9 классов по математике. М., «5 за знания», 2006 .
  • 5. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г.Алгебра: Доп. главы к шк. учеб.8 кл.:Учеб.пособие для учащихся шк. И классов с углубл.изуч. математики/Под ред. Г. В. Дорофеева.- М.: Просвещение, 1996
  • 6. Математика: пособие для поступающих в Вл ГУ/ Калебин А. В., Ксенофонтов Р. С.;Владим. гос. ун-т – 2-е изд.стер.- Владимир: РИК ВлГУ, 2004 .
  • 7.Математика.8-9 классы : сборник элективных курсов/авт.- сост. В.Н.Студенецкая, Л.С.Сагателова. – Волгоград: Учитель, 2006.
  • 8. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. М., Просвещение, 1989 ..
  • 9. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. М.,Просвещение, 1972 .